Computertomographie (CT), Teil 2

Radon-Transformation

In Teil 1 haben wir gesehen, das bei einem CT »Schattenbilder« aus verschiedenen Richtungen gemessen werden. Alle Schattenbilder aus verschiedenen Richtungen zusammen nennt man die Radon-Transformation unserer Objekte.

Abb. 1 zeigt noch einmal die 2-dimensionale Anordnung unserer drei geometrischer Figuren.

SetupParallel2_150dpi
Abb. 1: Die Anordnung unserer drei undurchsichtigen Objekte.

In Abb. 2 sind die »gemessenen« (eigentlich berechneten) Schattenbilder für die einzelnen Lichtrichtungen jeweils übereinander gestapelt und zeigen verschiedene Radon-Transformationen unserer Anordnung. Die Zeilen bei 180° zeigen die gespiegelten 0°-Zeilen und beinhalten keine neue Information.

RadonTransformationen2
Abb. 2: Verschiedene Radon-Transformationen der undurchsichtigen Objekte in Abb. 1. Links: 15-Pixel Detektor, alle 10° gemessen. Mitte: 128-Pixel-Detektor, alle 2° gemessen. Rechts: 512-Pixel Detektor, alle 0.5° gemessen.

Abb. 2 (links) zeigt die Radon-Transformation mit dem 15-Pixel Detektor aus Teil 1, der alle 10° ein Bild macht. In der Mitte ist eine qualitativ wesentlich bessere Radon-Transformation mit einem 128-Pixel Detektor, der alle 2° ein Bild macht. Nimmt man einen 512-Pixel Detektor, der alle 0.5° ein Bild macht, ergibt sich die Radon-Transformation ganz rechts. Verglichen mit der mittleren Transformation ist der Unterschied nur noch graduell.

Diese drei Radon-Transformationen sind ebenfalls 2-dimensionale Bilder. Die Frage lautet: enthalten sie dieselbe Information wie Abb. 1, nur anders dargestellt? Nein, denn offensichtlich werden die Bilder immer detaillierter.

Was aber, wenn wir einen Detektor mit unendlich vielen Pixeln hätten, der aus unendlich vielen Richtungen ein Bild macht? Könnten wir dann eindeutig auf die Form und Anordnung unserer Objekte rückschließen? In dieser Allgemeinheit, muss man die Frage auch wieder verneinen.

In vielen praktischen Fällen kann man jedoch näherungsweise bereits aus einer Radon-Transformation wie in Abb. 2 (Mitte) recht gut die Lage und auch die Form der Objekte rekonstruieren. Eine Möglichkeit dazu sehen wir in Teil 3.

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