Computertomographie (CT), Teil 3

Rückprojektion (backprojection)

In Teil 1 ging es um die grundsätzliche Funktionsweise eines CT. In Teil 2 haben wir verschiedene Radon-Transformationen unserer Objekte gesehen.

Jetzt geht es darum, wie wir die Lage und Form unserer Objekte aus der Radon-Transformation rekonstruieren können. Es gibt mehrere Methoden, aber eine der einfachsten – und auch (mit Verbesserungen) in medizinischen CTs verwendete – ist die Rückprojektion (backprojection).

Dazu legt man über den kreisförmigen Bereich, um den sich Lichtquelle und Detektor drehen, ein Gitter aus Bild-Pixeln (s. Abb. 1). Entgegengesetzt zur Richtung des Lichteinfalls wird dann von einem Detektor-Pixel aus ein Strahl in dieses Pixel-Gitter geschickt. In allen Bild-Pixeln, die dieser Strahl »trifft«, wird die Farbe des Detektor-Pixels addiert. Einige Bild-Pixel werden von dem Strahl nur am Rand gestreift, und man könnte sich fragen, ob man die wirklich einfärben muss. Andererseits ist ein Detektor-Pixel nicht unendlich dünn, sondern hat auch eine gewisse Breite.

BackProjParallelErkl1
Abb. 1: Ein Raster aus (n_x \times n_y) Bild-Pixeln wird über die Szene gelegt (grün). Für jeden Winkel wird von jedem Detektor-Pixel ausgehend ein Strahl in die Szene geschickt (rot). In den »getroffenen« Bild-Pixeln wird die Farbe dieses Detektor-Pixels addiert.

Abb. 2 zeigt das Ergebnis für alle Detektor-Pixel bei einem bestimmten Winkel. Manche Bild-Pixel werden von Strahlen aus verschiedenen Detektor-Pixeln getroffen. In diesem Fall werden sie mit dem Mittelwert der Detektor-Werte eingefärbt (in diesem Fall grau).

BackProjParallelErkl2
Abb. 2: Die gesamte Rückprojektion für einen bestimmten Winkel. Wenn ein Bild-Pixel von mehreren Rückprojektions-Strahlen getroffen wird, wird über alle Werte gemittelt.

Die folgende Animation zeigt, wie die Überlagerung all dieser Rückprojektionen das fertige Bild ergeben. Wie schon für einen fixen Winkel gilt: die Schwärzung eines bestimmten Bild-Pixels ist der Mittelwert aller Detektor-Werte, deren Strahlen diesen Bild-Pixel treffen.

AnimBackProjParallel

Abb. 3 zeigt das fertige 16×16 Bild, das aus der Rückprojektion von 18 Schattenbildern eines 15-Pixel Detektors entstanden ist, der in 10°-Schritten gemessen hat. Mit so einer geringen Auflösung ist die Qualität natürlich nicht berauschend, aber man erkennt zumindest ungefähr, wo sich die Objekte befinden.

BackProjParallel_15_10Deg_16x16
Abb. 3: Das (16×16)-Pixel Bild unserer Objekte, berechnet aus 18 Schattenbildern mit einem 15-Pixel Detektor, alle 10° gemessen.

Bessere Auflösungen finden sich in Teil 4.

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