Winkel und ihre Messung

In der Schule misst man Winkel üblicherweise in Grad (°). Aber warum entspricht eine volle Umdrehung eigentlich 360°? Mit Sicherheit kann das heute niemand mehr sagen. Man weiß nur, dass schon die antiken Astronomen damit gearbeitet haben. Möglicherweise liegt es daran, dass 360 ungefähr gleich der Anzahl der Tage in einem Jahr ist und viele Teiler hat. Jedenfalls ist es eine völlig willkürliche Festlegung. Ebenso willkürlich war die Festlegung auf 400 gon nach der Französischen Revolution.

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Komplexe Zahlen, Teil 5 – Rechnen in kartesischer Darstellung

In Teil 1 und Teil 4 haben wir verschiedene geometrische Darstellungen von komplexen Zahlen kennengelernt und auch, wie man damit Rechnungen »konstruktiv« durchführen kann.

In Teil 3 haben wir uns mit den verschiedene algebraische Darstellungen beschäftigt. Jetzt ist es an der Zeit mit den komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung schriftlich zu rechnen.

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Komplexe Zahlen, Teil 4 – eine alternative geometrische Darstellung

In Teil 1 haben wir eine möglich geometrische Darstellung von reellen Zahlen als Pfeile entlang der reellen Achse gesehen. Diese ließ sich auf Pfeile in der Ebene erweitern und führte so zu den komplexen Zahlen.

Diese Pfeile passen gut zur kartesischen Darstellung aus Teil 3. Dort haben wir auch die Polardarstellung kenngelernt, die in gewissem Sinn zur kartesischen »komplementär« ist. Hier werden wir uns die entsprechende geometrische Darstellung überlegen.

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Komplexe Zahlen, Teil 3 – die verwirrende Vielfalt algebraischer Darstellungen

In Teil 1 haben wir komplexe Zahlen als Pfeile in der Ebene kennengelernt. Mit Hilfe geometrischer Konstruktionen konnten wir mit diesen Pfeilen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Zum praktischen Rechnen benötigen wir jetzt eine algebraische Darstellung mit entsprechenden Rechenregeln. Leider gibt es mehrere solche Darstellungen …

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Komplexe Zahlen, Teil 2 – Multiplikation, Drehung und die Eulersche Formel

Im 1. Teil haben wir gesehen, dass die Multiplikation komplexer Zahlen eine Drehstreckung der entsprechenden Pfeile ist. Wie Abb. 1 zeigt, wird aus der Drehstreckung eine einfache Drehung, wenn einer der Pfeile die Länge 1 hat.

raz
Abb. 1: Der Pfeil \underline{R}_\alpha hat die Länge 1 und den Winkel \alpha zur positiven reellen Achse (links). Multipliziert man einen beliebigen Pfeil \underline{z} mit \underline{R}_\alpha, wird \underline{z} einfach um den Winkel \alpha gedreht (rechts).

Das haben wir schon bei der Multiplikation des Pfeils \underline{i} mit sich selber gesehen, um \underline{i}^2 = -1 zu erhalten.

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Komplexe Zahlen, Teil 1 – eine geometrische Einführung

Dieser Post ist eine überarbeitete Version meines Beitrags auf Astrodicticum simplex.

Einleitung

Zahlen sind generell etwas sehr Abstraktes. Es gibt z.B. nichts Konkretes worauf man zeigen und sagen könnte, das ist die Zahl drei. Es sind immer entweder drei Menschen, drei Kühe, drei Autos … Entsprechend gibt es für die Zahl drei die verschiedensten konkreten Darstellungen, z.B. 3 oder III.

Ausgehend von unseren Vorstellungen über reelle Zahlen, werden wir im Folgenden zunächst eine geometrische Darstellung der reellen Zahlen betrachten und die bekannten Rechenoperationen geometrisch konstruieren. Diese Darstellung und Konstruktionen können wir dann »leicht« zur Darstellung einer neuen Menge von Zahlen erweitern – den komplexen Zahlen.

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Computertomographie (CT), Teil 8

Im letzten Teil haben wir gesehen, dass Objekte Licht in unterschiedlichem Ausmaß durchlassen können. Im Folgenden werden wir uns nur mit Absorption beschäftigen. Abb. 1 zeigt unsere bereits aus Teil 1 bekannten Objekte, allerdings mit unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten. Zusätzlich ist der Kreis jetzt ein innen hohler Kreisring. Die Detektorpixel sind jetzt nicht mehr nur schwarz/weiß, sondern zeigen auch Helligkeiten dazwischen.

SetupParallelAbs
Abb. 1: Drei Objekte mit unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten, eines davon hohl. Das Dreieck hat \mu = 0.8\,\text{cm}^{-1}, der Kreisring hat \mu = 0.6\,\text{cm}^{-1} und das Quadrat hat \mu = 0.4\,\text{cm}^{-1}.

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Computertomographie (CT), Teil 6

Eine Linie aus kleinen Quadraten

In Teil 5 haben wir die Rasterung besprochen und gesehen, wie man Punkt-Koordinaten in der »realen« Welt in Pixel-Koordinaten umrechnet. Jetzt müssen wir diese Punkte durch eine Linie aus Pixeln verbinden (s. Abb. 1). Die Pixel, in denen die Punkte P und Q liegen, gehören auf jeden Fall dazu. Aber welche noch?

Linie1
Abb. 1: Durch welche Pixel geht die Verbindungslinie von P und Q?

Dieses Problem trat schon zu Beginn der Computergraphikära auf und wurde in den verschiedensten Varianten gelöst. Im Folgenden besprechen wir eine Variante des Bresenham-Algorithmus für Linien.

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Computertomographie (CT), Teil 5

Der diskrete Charme der Pixel

Wie schon gesagt, muss man für die Rückprojektion der Schattenbilder ein Pixel-Gitter über die reale physikalische Szene legen (s. Abb. 1). Man spricht dabei von Rasterung. Nachdem es sich um eine kreisförmige Szene mit Radius r handelt, ist das Gitter sinnvollerweise quadratisch, und die Anzahl der Pixel in x– und y-Richtung wird gleich gewählt, also n_x = n_y = n. Die Pixel sind dann Quadrate mit einer realen Seitenlänge von s = 2 r / n. Um die Formeln etwas zu vereinfachen wählen wir für n eine gerade Zahl, was keine große Einschränkung bedeutet.

Gitter1
Abb. 1: Das kreisförmige Gebiet mit Radius r wird mit einem (8×8)-Pixelgitter überdeckt. Der Ursprung des Pixel-Koordinatensystems befindet sich links oben. Die i-Achse zeigt wie die x-Achse nach rechts, die j-Achse zeigt entgegen der y-Achse nach unten.

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Computertomographie (CT), Teil 4

In Teil 3 haben wir aus unseren »Schattenmessungen« ein sehr grobes Bild unserer Objekte rekonstruiert. Im Folgenden sehen wir uns einige bessere Rekonstruktionen an.

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Abb. 1: (128×128)-Pixel Rekonstruktion der Messung mit einem 512-Pixel Detektor und 0.5° Winkelauflösung.

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