Computertomographie (CT), Teil 8

Im letzten Teil haben wir gesehen, dass Objekte Licht in unterschiedlichem Ausmaß durchlassen können. Im Folgenden werden wir uns nur mit Absorption beschäftigen. Abb. 1 zeigt unsere bereits aus Teil 1 bekannten Objekte, allerdings mit unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten. Zusätzlich ist der Kreis jetzt ein innen hohler Kreisring. Die Detektorpixel sind jetzt nicht mehr nur schwarz/weiß, sondern zeigen auch Helligkeiten dazwischen.

SetupParallelAbs
Abb. 1: Drei Objekte mit unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten, eines davon hohl. Das Dreieck hat \mu = 0.8\,\text{cm}^{-1}, der Kreisring hat \mu = 0.6\,\text{cm}^{-1} und das Quadrat hat \mu = 0.4\,\text{cm}^{-1}.

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Computertomographie (CT), Teil 7

Bisher haben wir angenommen, dass ein Detektor-Pixel entweder die komplette Lichtintensität »sieht«, oder gar nichts (Schatten). Wie so oft ist diese Schwarz-Weiß-Malerei unrealistisch.

Warum wird es finster?

Ohne Objekte zwischen Strahlungsquelle und Detektor sieht jeder Detektor-Pixel die volle Lichtintensität (Helligkeit) I_0. Mit Objekten dazwischen sieht dieser Pixel die Intensität I, die im Allgemeinen kleiner als I_0 ist.

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Computertomographie (CT), Teil 6

Eine Linie aus kleinen Quadraten

In Teil 5 haben wir die Rasterung besprochen und gesehen, wie man Punkt-Koordinaten in der »realen« Welt in Pixel-Koordinaten umrechnet. Jetzt müssen wir diese Punkte durch eine Linie aus Pixeln verbinden (s. Abb. 1). Die Pixel, in denen die Punkte P und Q liegen, gehören auf jeden Fall dazu. Aber welche noch?

Linie1
Abb. 1: Durch welche Pixel geht die Verbindungslinie von P und Q?

Dieses Problem trat schon zu Beginn der Computergraphikära auf und wurde in den verschiedensten Varianten gelöst. Im Folgenden besprechen wir eine Variante des Bresenham-Algorithmus für Linien.

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Computertomographie (CT), Teil 5

Der diskrete Charme der Pixel

Wie schon gesagt, muss man für die Rückprojektion der Schattenbilder ein Pixel-Gitter über die reale physikalische Szene legen (s. Abb. 1). Man spricht dabei von Rasterung. Nachdem es sich um eine kreisförmige Szene mit Radius r handelt, ist das Gitter sinnvollerweise quadratisch, und die Anzahl der Pixel in x– und y-Richtung wird gleich gewählt, also n_x = n_y = n. Die Pixel sind dann Quadrate mit einer realen Seitenlänge von s = 2 r / n. Um die Formeln etwas zu vereinfachen wählen wir für n eine gerade Zahl, was keine große Einschränkung bedeutet.

Gitter1
Abb. 1: Das kreisförmige Gebiet mit Radius r wird mit einem (8×8)-Pixelgitter überdeckt. Der Ursprung des Pixel-Koordinatensystems befindet sich links oben. Die i-Achse zeigt wie die x-Achse nach rechts, die j-Achse zeigt entgegen der y-Achse nach unten.

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Computertomographie (CT), Teil 4

In Teil 3 haben wir aus unseren »Schattenmessungen« ein sehr grobes Bild unserer Objekte rekonstruiert. Im Folgenden sehen wir uns einige bessere Rekonstruktionen an.

BackProjParallel_512_0.5Deg_128x128
Abb. 1: (128×128)-Pixel Rekonstruktion der Messung mit einem 512-Pixel Detektor und 0.5° Winkelauflösung.

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Computertomographie (CT), Teil 3

Rückprojektion (backprojection)

In Teil 1 ging es um die grundsätzliche Funktionsweise eines CT. In Teil 2 haben wir verschiedene Radon-Transformationen unserer Objekte gesehen.

Jetzt geht es darum, wie wir die Lage und Form unserer Objekte aus der Radon-Transformation rekonstruieren können. Es gibt mehrere Methoden, aber eine der einfachsten – und auch (mit Verbesserungen) in medizinischen CTs verwendete – ist die Rückprojektion (backprojection).

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Computertomographie (CT), Teil 2

Radon-Transformation

In Teil 1 haben wir gesehen, das bei einem CT »Schattenbilder« aus verschiedenen Richtungen gemessen werden. Alle Schattenbilder aus verschiedenen Richtungen zusammen nennt man die Radon-Transformation unserer Objekte.

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