Was sind reelle Zahlen?

Zeichenketten und Pfeile

In der Schule lernen wir reelle Zahlen als Dezimalzahlen mit indo-arabischen Ziffern zu schreiben. Z.B. fünfhundertsiebenundzwanzig-einhalb schreiben wir als

527.5 .

Für negative Zahlen setzen wir noch einen kleinen Querstrich (ein Minus) vor die Zahl, z.B. minus siebenhundertsechsunddreißig-einachtel:

-736.125 .

Dezimalzahlen sind Zeichenketten aus den möglichen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, einem Dezimalkomma ».« (oder »,«), und einem eventuellen Vorzeichen (+/-). Diese Zeichenketten können unendlich lang werden (und müssen es für die meisten Zahlen auch sein).

Im 1. Teil über komplexe Zahlen haben wir gesehen, dass man reelle Zahlen aber auch als Pfeile entlang einer Geraden zeichnen kann (s. Abb. 1) – jeder Dezimalzahl entspricht dabei genau ein Pfeil und umgekehrt.

reell_4_3
Abb. 1: Dieselbe reelle Zahl einmal als Dezimalzahl geschrieben (links) und einmal als Pfeil entlang der reellen Achse gezeichnet (rechts).

Was also sind die reellen Zahlen nun wirklich?

Weiterlesen „Was sind reelle Zahlen?“

Komplexe Zahlen, Teil 5 – Rechnen in kartesischer Darstellung

In Teil 1 und Teil 4 haben wir verschiedene geometrische Darstellungen von komplexen Zahlen kennengelernt und auch, wie man damit Rechnungen »konstruktiv« durchführen kann.

In Teil 3 haben wir uns mit den verschiedene algebraische Darstellungen beschäftigt. Jetzt ist es an der Zeit mit den komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung schriftlich zu rechnen.

Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 5 – Rechnen in kartesischer Darstellung“

Komplexe Zahlen, Teil 4 – eine alternative geometrische Darstellung

In Teil 1 haben wir eine möglich geometrische Darstellung von reellen Zahlen als Pfeile entlang der reellen Achse gesehen. Diese ließ sich auf Pfeile in der Ebene erweitern und führte so zu den komplexen Zahlen.

Diese Pfeile passen gut zur kartesischen Darstellung aus Teil 3. Dort haben wir auch die Polardarstellung kenngelernt, die in gewissem Sinn zur kartesischen »komplementär« ist. Hier werden wir uns die entsprechende geometrische Darstellung überlegen.

Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 4 – eine alternative geometrische Darstellung“

Komplexe Zahlen, Teil 3 – die verwirrende Vielfalt algebraischer Darstellungen

In Teil 1 haben wir komplexe Zahlen als Pfeile in der Ebene kennengelernt. Mit Hilfe geometrischer Konstruktionen konnten wir mit diesen Pfeilen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Zum praktischen Rechnen benötigen wir jetzt eine algebraische Darstellung mit entsprechenden Rechenregeln. Leider gibt es mehrere solche Darstellungen …

Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 3 – die verwirrende Vielfalt algebraischer Darstellungen“

Komplexe Zahlen, Teil 2 – Multiplikation, Drehung und die Eulersche Formel

Im 1. Teil haben wir gesehen, dass die Multiplikation komplexer Zahlen eine Drehstreckung der entsprechenden Pfeile ist. Wie Abb. 1 zeigt, wird aus der Drehstreckung eine einfache Drehung, wenn einer der Pfeile die Länge 1 hat.

raz
Abb. 1: Der Pfeil \underline{R}_\alpha hat die Länge 1 und den Winkel \alpha zur positiven reellen Achse (links). Multipliziert man einen beliebigen Pfeil \underline{z} mit \underline{R}_\alpha, wird \underline{z} einfach um den Winkel \alpha gedreht (rechts).

Das haben wir schon bei der Multiplikation des Pfeils \underline{i} mit sich selber gesehen, um \underline{i}^2 = -1 zu erhalten.

Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 2 – Multiplikation, Drehung und die Eulersche Formel“

Komplexe Zahlen, Teil 1 – eine geometrische Einführung

Dieser Post ist eine überarbeitete Version meines Beitrags auf Astrodicticum simplex.

Einleitung

Zahlen sind generell etwas sehr Abstraktes. Es gibt z.B. nichts Konkretes worauf man zeigen und sagen könnte, das ist die Zahl drei. Es sind immer entweder drei Menschen, drei Kühe, drei Autos … Entsprechend gibt es für die Zahl drei die verschiedensten konkreten Darstellungen, z.B. 3 oder III.

Ausgehend von unseren Vorstellungen über reelle Zahlen, werden wir im Folgenden zunächst eine geometrische Darstellung der reellen Zahlen betrachten und die bekannten Rechenoperationen geometrisch konstruieren. Diese Darstellung und Konstruktionen können wir dann »leicht« zur Darstellung einer neuen Menge von Zahlen erweitern – den komplexen Zahlen.

Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 1 – eine geometrische Einführung“